Curso de Matemática Básica (MB)

Razones y Proporciones

Razón

   Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.

   Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, diviéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.

RAZÓN ARITMETICA O POR DIFERENCIA

   De dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades. Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separando las dos cantidades con el signo (-) o con el punto (.).

   Así, la razón aritmética de 6 es a 4 se escribe: 6 - 4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro. 

   Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 6 - 4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE

   De dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades. Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de quebrado, separador númerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división (÷). 

   Así, la razón geométrica de 8 es a 4 se escribe: 8 u 8 ÷ 4, y se lee ocho es a cuatro.                                                    4

  

   Los términos de la razón geométrica se llaman antecedente el primero y cosecuente el segundo. Así, en la razón 8 ÷ 4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.

                     Figura  Términos de una razón

Ejercicios  

(En los ejercicios siguientes, cuando se diga simplemente razón o relación, se entenderá que la razón pedida es geométrica).

• Cite dos números cuya razón aritmética sea 6; dos números cuya razón geométrica sea 2 ÷ 8

   Respuesta: Por definición de razón aritmética, se entiende que la razón es la diferencia de dos cantidades. Así, a - b = c

Por lo tanto 8 y 2 cumple con la razón aritmética, ya que 8 - 2 = 6

   Respuesta: Por definición de razón geométrica, se entiende que la razón es el cociente indicado de dichas cantidades. Así, a ÷ b = c

   Por lo tanto, 10 ÷ 40 y 14 ÷ 56 cumplen con la razón geométrica, ya que el cociente de dichas expresiones es igual a  2 ÷ 8 ó en su caso simplificado sería 1 ÷ 4.

Proporciones

PROPORCIONES ARITMÉTICAS

   Equidiferencia o proporción aritmética, es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas.

   Una equidiferencia se escribe de los dos modos siguientes: a - b = c - d y a × b : : c × d y se lee a es a b como c es a d. 

TÉRMINOS DE UNA EQUIDIFERENCIA

   Los términos de una equidiferencia se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y tercero. También según lo visto antes se llaman antecedentes al primero y tercer términos y consecuentes al segundo y al cuarto.

   Así, en la equidiferencia 20 - 5 = 21 - 6, 20 y 6 son los extremos, 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes. 

                    Figura términos de una equidiferencia

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS EQUIDIFERENCIA TEOREMA 

   En toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

   Ejemplo: En la equidiferencia 8 - 6 = 9 - 7 tenemos: 8 + 7 = 9 + 6, es decir, 15 = 15.    

COLORARIOS

   De la propiedad fundamental de las equidiferencias se derivan los siguientes colorarios:

1) En toda equidiferencia un extremos es igual a la suma de los medios, menos el otro extremo.

   Ejemplo: En 9 - 5 = 10 - 6 tenemos que 9 = 5 + 10 - 6.

2) En toda equidiferencia un medio es igual a la suma de los extremos, menos el otro medio.

   Ejemplo: En 11 - 7 = 9 - 5 tenemos que 7 = 11 + 5 - 9

HALLAR TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN EQUIDIFERENCIAS

Ejemplos: 1) Hallar el término desconocido en 8 - 6 = 4 - x.

   Como el término desconocido es un extremo y un extremo es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido, tendremos:

  

X = 6 + 4 - 8 = 2

   y queda, sustiyendo el valor de X en la equidiferencia: 8 - 6 = 4 - 2.

2) Hallar el término desconocido en 3,4 - x = 8 ÷ 5 - 1.

   Como el término desconocido es un medio y un medio es igual a la suma de los extremos menos el medio coocido, tendremos:

X = 3,4 + 1 - 8 ÷ 5 = 4,4 - 8 ÷ 5 = 14 ÷ 5   

   y sustituyendo el valor de x: 3,4 - 14 ÷ 5 = 8 ÷ 5 - 1

PROPORCIONES GEOMÉTRICAS 

   PROPORCIÓN GEOMÉTRICA O EQUICOCIENTE, es la igualdad de dos razones geométricas o por cociente.

   Una proporción geométrica se escribre de los dos modos siguientes:      a ÷ b = c ÷ d o a : b : : c : d

  y se lee a es a b como c es a d.

TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Los términos de una proporción geométrica se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y el tercero. También, según lo visto antes, se llaman antecedentes el primero y tercer términos, y consecuentes el segundo y cuarto término.

   Así, en la proporción 8 ÷ 4 = 10 ÷ 5 los extremos son 8 y 5 y los medios 10 y 4; los antecedentes son 8 y 10 y los consecuentes 4 y 5. 

                      Figura Términos de una equicociente

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS. 

TEOREMA 

   En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

   Ejemplo: En la proporción 6 ÷ 4 = 3 ÷ 2 tenemos que 6 × 2 = 3 × 4, es decir, 12 = 12.

 COLORARIOS 

   De la propiedad fundamental de las porporciones geométricas se derivan los siguientes colorarios:

1) En toda proporció geométrica un extremo es igual al producto de los medios divididos por el otro extremo.

   Ejemplo: En 9 

2) En toda proporción geométrica un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.

   Ejemplo: En 5 ÷ 10 = 2 ÷ 4 tenemos 2 = ( 5 × 4  ) ÷ 10

HALLAR TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

Ejemplos: 1) Hallar el término desconocido en 8 : 4 : : 10 : X

   Como el término desconocido es un extremo y un extremo es igual al producto de los medios dividido por el extremo conocido, tendremos: X = ( 4 × 10 ) ÷ 8 = 5. Sustituyendo el valor de la X en la proporción dada, queda: 8 : 4 : : 10 : 5.

2) Hallar el término desconocido en 10 : 1 ÷ 6 : : X : 4.

   Como el término desconocido es un medio y un medio es igual al producto de los extremos dividido por el medio conocido, tendremos: X = ( 10 × 4 ) / 1 ÷ 6 = 40 / (1 ÷ 6) = 240.

   Aquí os dejo el siguiente vídeo que los ayudará mucho a comprender las razones y proporciones.

                                                 

Regla de tres

   La Regla de Tres es un operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporció, cuando se conocen tres.

   La Regla de Tres puede ser simple y compuesta.

  Es simple cuando solamente intervienen en ella dos magnitudes y es compuesta cuando intervienen tres o más magnitudes. 

SUPUESTO Y PREGUNTA

   En una Regla de Tres el supuesto está constituido por los datos de la parte del problema que ya se conoce y la pregunta por los datos de la parte del problema que contiene la incógnita.

   Así, en el problema: Si 4 libros cuestan 8 $, ¿Cuánto costarán 15 libros?, el supuesto está constituido por 4 libros y 8 $ y la pregunta por 15 libros y X dolares.  

METODOS DE RESOLUCIÓN 

   La Regla de Tres se puede resolver por tres métodos: 1) Método de reducción a la unidad. 2) Método de las proporciones. 3) Método práctico.

1. MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD  

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Si 4 libros cuestan 8 $, ¿Cuánto costarán 15 libros? 

Supuesto .......... 4 libros .......... 8 $

Pregunta .......... 15 libros .......... X $

Si 4 libros cuestan 8 $, 1 libro costará 4 veces menos: 8 $ ÷ 4 = 2 $ y 15 libros costarán 15 veces más, 2 $ × 15 = 30 $.

 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuántos días podrían hacer la misma obra 7 hombres?

Supuesto .......... 4 hombres 12 días.

Pregunta .......... 7 hombres  X días.  

   Si 4 hombres hacen la obra en 12 días, 1 hombre tardaría para hacerla 4 veces más: 4 × 12 = 48 días y 7 hombres tardarían 7 veces menos:  48 ÷ 7 = 6,9 días.  

2. MÉTODO DE LAS PROPORCIONES

   Aplicaremos este método a los ejemeplos anteriores.

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Si 4 libros cuestan 8 $, ¿Cuánto costarán 15 libros?

Supuesto .......... 4 libros .......... 8 $

       Pregunta .......... 15 libros .......... X$

   Como que a más libros, más persos, estas cantidades son directamente proporcionales y se sabe que la proporció se forma igualando las razones directas:  

                       4 / 5 = 8 / x ∴ x = (8 × 15) / 4 = 30 $.   

 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuántos días podrían hacer la obra 7 hombres?

Supuesto .......... 4 hombres, 12 días.

Pregunta .......... 7 hombres, x días. 

   Como que a más hombres, menos días, estas cantidades son inversamente proporcionales y se sabe que la proporción se forma igualando la razón directa de las dos primeras con la razón inversa de las dos últimas o viceversa: 

7 / 4 = 12 / x ∴ x = (4 × 2) / 7 = 1,14 días. 

 

     Aquí os dejo los siguientes vídeos que los ayudarán mucho a comprender la regla de tres.